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Fonctions de croissance exponentielle

Fonctions de croissance exponentielle


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Les fonctions exponentielles racontent les histoires de changements explosifs. Les deux types de fonctions exponentielles sont la croissance exponentielle et la décroissance exponentielle. Quatre variables (pourcentage de changement, heure, montant au début de la période et montant à la fin de la période) jouent des rôles dans des fonctions exponentielles. Ce qui suit se concentre sur l’utilisation de fonctions de croissance exponentielle pour faire des prédictions.

Croissance exponentielle

La croissance exponentielle est le changement qui survient lorsqu'un montant initial est augmenté d'un taux constant sur une période donnée

Utilisations de la croissance exponentielle dans la vie réelle:

  • Valeur du prix des maisons
  • Valeurs des investissements
  • Augmentation du nombre de membres d'un site de réseautage social populaire

Croissance exponentielle du commerce de détail

Edloe and Co. s'appuie sur la publicité de bouche à oreille, le réseau social d'origine. Cinquante acheteurs ont dit chacun cinq personnes, puis chacun de ces nouveaux acheteurs a dit cinq autres personnes, et ainsi de suite. Le gérant a enregistré la croissance des achats en magasin.

  • Semaine 0: 50 acheteurs
  • Semaine 1: 250 acheteurs
  • Semaine 2: 1 250 acheteurs
  • Semaine 3: 6 250 acheteurs
  • Semaine 4: 31 250 acheteurs

Premièrement, comment savez-vous que ces données représentent une croissance exponentielle? Posez-vous deux questions.

  1. Les valeurs augmentent-elles? Oui
  2. Les valeurs démontrent-elles une augmentation constante en pourcentage? Oui.

Comment calculer l'augmentation en pourcentage

Augmentation en pourcentage: (Plus récent - Plus ancien) / (Plus âgé) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Vérifiez que le pourcentage d'augmentation persiste tout au long du mois:

Augmentation en pourcentage: (Plus récent - Plus ancien) / (Plus âgé) = (1 250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Augmentation en pourcentage: (Plus récent - Plus ancien) / (Plus âgé) = (6 250 - 1 250) / 1 250 = 4,00 = 400%

Attention, ne confondez pas croissance exponentielle et croissance linéaire.

Ce qui suit représente la croissance linéaire:

  • Semaine 1: 50 acheteurs
  • Semaine 2: 50 acheteurs
  • Semaine 3: 50 acheteurs
  • Semaine 4: 50 acheteurs

Remarque: La croissance linéaire signifie un nombre constant de clients (50 acheteurs par semaine); Une croissance exponentielle signifie une augmentation constante du pourcentage de clients (400%).

Comment écrire une fonction de croissance exponentielle

Voici une fonction de croissance exponentielle:

y = une(1 + b)X

  • y: Montant final restant sur une période donnée
  • une: Le montant initial
  • X: Temps
  • le facteur de croissance est (1 + b).
  • La variable, b, est le pourcentage de changement sous forme décimale.

Remplir les espaces vides:

  • une = 50 acheteurs
  • b = 4.00
y = 50(1 + 4)X

Remarque: Ne pas renseigner les valeurs pour X et y. Les valeurs de X et y changera tout au long de la fonction, mais le montant initial et le pourcentage de changement resteront constants.

Utiliser la fonction de croissance exponentielle pour faire des prédictions

Supposons que la récession, le principal moteur des clients du magasin, persiste pendant 24 semaines. Combien d’acheteurs hebdomadaires le magasin aura-t-il au cours de la 8th la semaine?

Attention, ne doublez pas le nombre d'acheteurs au cours de la semaine 4 (31 250 * 2 = 62 500) et croyez que c'est la bonne réponse. N'oubliez pas que cet article traite de la croissance exponentielle, pas de la croissance linéaire.

Utilisez l'ordre des opérations pour simplifier.

y = 50(1 + 4)X

y = 50(1 + 4)8

y = 50(5)8 (Parenthèse)

y = 50 (390,625) (exposant)

y = 19 531 250 (multiplier)

19 531 250 acheteurs

Croissance exponentielle des revenus du commerce de détail

Avant le début de la récession, les revenus mensuels du magasin oscillaient autour de 800 000 $. Le revenu d'un magasin est le montant total en dollars que les clients dépensent dans le magasin en biens et services.

Edloe and Co. Revenus

  • Avant la récession: 800 000 $
  • 1 mois après la récession: 880 000 $
  • 2 mois après la récession: 968 000 $
  • 3 mois après la récession: 1 171 280 $
  • 4 mois après la récession: 1 288 408 $

Des exercices

Utilisez les informations sur les revenus d'Edloe and Co pour compléter de 1 à 7.

  1. Quels sont les revenus d'origine?
  2. Quel est le facteur de croissance?
  3. Comment ces données modélisent-elles la croissance exponentielle?
  4. Ecrivez une fonction exponentielle décrivant ces données.
  5. Ecrivez une fonction pour prédire les revenus du cinquième mois après le début de la récession.
  6. Quels sont les revenus du cinquième mois après le début de la récession?
  7. Supposons que le domaine de cette fonction exponentielle est de 16 mois. En d'autres termes, supposons que la récession dure 16 mois. À quel moment les revenus dépasseront-ils 3 millions de dollars?


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